在无穷大的极限 |
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在无穷大的极限
你应该先去看 极限(入门) 无穷大 是个非常特别的概念。我们知道不能达到无穷大,但我们可以尝试去求含有无穷大的函数的值。 一除以无穷大我们先看一个有趣的例子。 问题: 1 ∞ 的值是多少? 答案:不知道!为什么不知道? 最简单的答案是:无穷大不是个数,它是个概念。 所以 1 ∞ 就好像 1 美 或 1 高 一样。 我们也许可以说 1 ∞ = 0 …… 但这样也不对,因为如果我们把 1 切开成无穷多的部分而每个部分都是 0,那么整体怎么会是 1 呢? 其实 1 ∞ 是 未定义的。 但我们可以趋近它!我们无法计算在无穷大的值(因为得不到合理的答案),我们尝试用越来越大的 x值: x 1 x 1 1.00000 2 0.50000 4 0.25000 10 0.10000 100 0.01000 1,000 0.00100 10,000 0.00010当 x 越来越大时, 1 x 越来越接近 0 这很有意思: 我们不能说"当" x 是无穷大时的情形是什么 但我们可以看到 1 x 趋近 0我们想说答案是 "0",但我们不可以,所以数学家用特定名词 "极限" 来表达这种情形: 当 x 趋近无穷大时, 1 x 的 极限 是 0 写下来是 换句话说: 换句话说: 1 x 趋近 0
当你看到 "极限" 时,想:"趋近"
用数学的语言来说:"我们不是说在 x=∞,但我们知道当 x 越来越大时,答案便越来越接近 0"。 总结所以,有时我们不能直接用无穷大,但是我们可以用极限。 在 ∞ 的情形是 未定义的 …… 1 x …… 但我们知道当 x 趋近无穷大时,1/x 趋近 0趋近无穷大时的极限 当 x 趋近无穷大时,这个函数的极限是什么? y = 2x 若 "x" 越来越大,"2x" 也越来越大: x y=2x 1 2 2 4 4 8 10 20 100 200 ... ...所以当 "x" 趋近无穷大时,"2x" 也趋近无穷大。我们这样写: 不要被这个 "="号迷惑了!我们其实无法达到无穷大,但在 "极限" 的语言里,极限是无穷大 (意思其实是函数没有极限)。无穷大和次数 上面我们分析了两个例子,一个趋近 0,另一个趋近无穷大。 实际上,很多无穷大的极限是很容易求的,只要我们知道函数的 "走势",像这样 当 x 趋近无穷大时,像 1/x 的函数趋近 0 。像 /x2 等的函数也一样 像 x 的函数会趋近无穷大,2x 或 x/9 等函数也一样。同样,含有 x2 或 x3 等的函数也会趋近无穷大。 但要小心,函数 "−x" 趋近 "负无穷大",所以我们要留意 x 的正负号。例子: 2x2−5x 2x2 趋近 +无穷大 −5x 趋近 −无穷大 但 x2 增加得比 x 快,所以 2x2−5x 会趋近 +无穷大如果我们留意函数的 次数 (函数里最高的 指数),我们便可以知道答案: 如果函数的次数是: 大于 0,极限是无穷大(或 −无穷大) 小于 0,极限是0但是,如果次数是 0 或未知值,情形便会复杂一点。 有理函数 有理函数 是两个多项式的比: 例如,在这里 P(x) = x3 + 2x − 1, Q(x) = 6x2:根据上面 方程的次数 概念,求极限的第一步是…… 比较 P(x) 和 Q(x) 的次数: 如果 P 的次数小于 Q 的次数…… ……极限是 0。 如果 P 的次数等于 Q 的次数…………用最高指数的项的系数相除,像这样: (注意因为次数是相同的,所以最大的指数也是相同的。) 如果 P 的次数大于 Q 的次数…… ……极限是正无穷大…… ……或负无穷大。不要忘了看正负号!要确定极限是正还是负,我们看有最大指数的项的正负号,好像在上面找系数一样: 例如,这个会趋近正无穷大,因为…… x3 (上面有最大指数的项) 和 6x2 (下面有最大指数的项) ……都有正号。 但这个函数的极限是负无穷大,因为 −2/5 是负数。 比较难的例子:求 "e"有一个 e (欧拉数) 的公式是基于无穷大和这个公式的: (1+ 1/n)n 在无穷大: (1+1/∞)∞ = ??? …… 不知道!所以我们不求"在"的值,我们尝试用越来越大的 n值: n (1 + 1/n)n 1 2.00000 2 2.25000 5 2.48832 10 2.59374 100 2.70481 1,000 2.71692 10,000 2.71815 100,000 2.71827结果趋近 2.71828...,这就是 e (欧拉数) 的值。 我们又看到这个现象了: 我们不知道函数在 n=无穷大 的值 但我们看到结果趋近 2.71828……因此,我们用极限来表达答案: 用数学的语言来说:"我们不是说当 n=∞,但我们知道当 n 越来越大时,答案便越来越接近 e" 的值。 不要犯错 …… !在图和列列表上我们看到当 n 越来越大时,函数趋近 2.71828…… 但如果我们想把无穷大当作一个 "很大的实数" (它不是!),我们会得到: (1+1/∞)∞ = (1+0)∞ = (1)∞ = 1 (大错特错!) 故事的寓意是:不要把无穷大当作一个实数:你会得到错误的答案! 极限才是正途。 极限求值我在这里比较随和地解释了极限,也使用了图和列表来做示范。 但计算极限的值("求值")就没有那么简单了,你可以去 极限求值 了解更多。 极限(入门) 微积分索引 |
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